La integral definida

La integral definida de una función f(x), se define de la siguiente forma:

Donde a y b son valores de x llamados límites de integración:

• a: límite inferior de integración

• b: límite superior de integración

La integral definida corresponde al área limitada por la curva f(x), los límites de integración a y b y el eje x:

Por tanto, la solución de la integral definida es un valor numérico, que siempre debe ser positivo y expresado en unidades cuadradas, ya que realmente estamos calculando áreas.

Las integrales definidas de calculan aplicando la regla de Barrow, que será lo que veremos a continuación.

Cómo calcular integrales definidas: La Regla de Barrow

Vamos a ver ahora cómo calcular integrales definidas aplicando la regla de Barrow.

Es necesario que sepas resolver integrales indefinidas, para poder resolver las integrales definidas. Si no es tu caso, te recomiendo aprender a integrar con el Curso de Integrales Indefinidas.

Regla de Barrow

La regla de Barrow dice lo siguiente:

La integral definida de una función f(x), contínua en el intervalo cerrado [a,b] es igual  la diferencia de los valores de su primitiva en los extremos superior e inferior del intervalo [a,b]:

Donde F(x) es primitiva de f(x).

Para aplicar la regla de Barrow y calcular integrales definidas, seguimos por tanto los siguientes pasos:

1.  Obtener la primitiva de la función, calculando la integral indefinida correspondiente

2. Obtener los valores del valor de la primitiva en cada límite integración

3. Realizar la diferencia del valor la primitiva en el límite superior menos el valor de la primitiva en el límite inferior (F(b)-f(a))

4. Operar y calcular el resultado

Vamos a verlo más despacio con un ejemplo:

Calcular la siguiente integral definida:

En primer lugar calculamos la integral indefinida de la función, dejándola entre corchetes con los dos límites de integración de esta forma:

Ahora hayamos el valor de la primitiva cuando x=3, sustituyendo la x por 3 y le restamos el valor de la primitiva cuando x=-2, sustituyendo la x por -2:

Finalmente operamos y calculamos la solución:

Ejercicios resueltos sobre integrales definidas y cálculo de áreas limitadas por una curva

Tal y como te indiqué al inicio de la lección, podemos calcular el área limitada por la curva de una función y los límites de integración.

Ejercicio resuelto

Calcular el área limitada por la curva de la función f(x)=x²+1 y los puntos de abcisas x=0 y x=2

En este caso, nos piden calcular el área que se queda por de bajo de la función:

Entre x=0 y x=2. (estos dos valores son los límites de integración).

Lo que nos están pidiendo es el área sombreada:

Por tanto, este área lo calculamos por medio de la integral definida de la función entre 0 y 2.

Para resolverla, en primer lugar calculamos la integral indefinida, dejándola entre corchetes con sus límites de integración:

Y ahora aplicamos la regla de Barrow, realizando la diferencia del valor de la primitiva cuando x=2, sustituyendo la x por 2 y el valor de la primitiva cuando x=0, sustituyendo la x por 0:

Y operamos, lo que nos da el siguiente resultado: